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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA PALACIOS PUEBLA

Práctica 5 - Aproximación lineal y derivadas

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3.
e) Derivar las siguientes funciones combinando reglas:
1) f(x)=(tg⁡(5x))3f(x)=(\operatorname{tg}(5 x))^{3}
2) f(x)=xex2+3xf(x)=x e^{x^{2}+3 x}
3) f(x)=xsen⁡2(x)−3sen⁡(7x)f(x)=x \operatorname{sen}^{2}(x)-3 \operatorname{sen}(7 x)
4) f(x)=cos⁡(3x)x4+5f(x)=\frac{\cos (3 x)}{\sqrt{x^{4}+5}}

Respuesta

1) f(x)=(tg⁡(5x))3f(x)=(\operatorname{tg}(5 x))^{3}

Acordate que tan⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}, así que en realidad ff la podríamos escribir así:

f(x)=(sin⁡(5x)cos⁡(5x))3f(x) = (\frac{\sin(5x)}{\cos(5x)})^3

Entonces, derivo primero lo de más afuera, es decir, como si tuviera x3x^3 y multiplico por la derivada "de lo de adentro":

f′(x)=3⋅(sin⁡(5x)cos⁡(5x))2 ⋅(sin⁡(5x)cos⁡(5x))′f'(x) = 3 \cdot (\frac{\sin(5x)}{\cos(5x)})^2  \cdot (\frac{\sin(5x)}{\cos(5x)})'

Ahora en un cálculo auxiliar hacemos la derivada de sin⁡(5x)cos⁡(5x)\frac{\sin(5x)}{\cos(5x)}, acá usamos regla del cociente (y, además, cuando tengamos que hacer la derivada de cada uno, atenti regla de la cadena) La derivada nos queda así:

(sin⁡(5x)cos⁡(5x))′= cos⁡(5x)⋅5⋅cos⁡(5x)−sin⁡(5x)⋅(−sin⁡(5x))⋅5(cos⁡(5x))2(\frac{\sin(5x)}{\cos(5x)})' = \frac{\cos(5x) \cdot 5 \cdot \cos(5x) - \sin(5x) \cdot (-\sin(5x)) \cdot 5 }{(\cos(5x))^2}

Clave reacomodar ahora, mirá que linda nos va a quedar:

=5(cos⁡2(5x)+sin⁡2(5x))(cos⁡(5x))2=5(cos⁡(5x))2= \frac{5(\cos^2(5x) + \sin^2(5x))}{(\cos(5x))^2} = \frac{5}{(\cos(5x))^2}

Listoooo, y ahora volvemos y reemplazamos:

f′(x)=3⋅(sin⁡(5x)cos⁡(5x))2 ⋅(sin⁡(5x)cos⁡(5x))′f'(x) = 3 \cdot (\frac{\sin(5x)}{\cos(5x)})^2  \cdot (\frac{\sin(5x)}{\cos(5x)})'

f′(x)=3⋅(sin⁡(5x)cos⁡(5x))2 ⋅ 5(cos⁡(5x))2f'(x) = 3 \cdot (\frac{\sin(5x)}{\cos(5x)})^2  \cdot \frac{5}{(\cos(5x))^2}

2) f(x)=xex2+3xf(x)=x e^{x^{2}+3 x}

Encaramos aplicando regla del producto y, atención, cuando nos toque hacer "el segundo derivado"... regla de la cadena 😉

f′(x)=1⋅ex2+3x+x⋅ex2+3x⋅(2x+3) f'(x) = 1 \cdot e^{x^2 + 3x} + x \cdot e^{x^2 + 3x} \cdot (2x + 3)

La derivada ya está lista, si querés la podemos reacomodar un poco sacando factor común la exponencial y haciendo ahí en el segundo término una distributiva:

f′(x)=ex2+3x⋅ (1+2x2+3x)  f'(x) = e^{x^2 + 3x} \cdot (1 + 2x^2 + 3x) 

3) f(x)=xsen⁡2(x)−3sen⁡(7x)f(x)=x \operatorname{sen}^{2}(x)-3 \operatorname{sen}(7 x)

Para derivar el primer sumando vamos a usar regla del producto y, atención, cuando nos toque derivar sin⁡2(x)\sin^2(x), regla de la cadena. Acordate que sin⁡2(x)=(sin⁡(x))2\sin^2(x) = (\sin(x))^2. En el segundo sumando tenemos el 33, que simplemente es un número multiplicando, y derivamos sin⁡(7x)\sin(7x) con regla de la cadena. Nos queda:

f′(x)=1⋅sin⁡2(x)+x⋅2sin⁡(x)cos⁡(x)−3cos⁡(7x)⋅7 f'(x) = 1 \cdot \sin^2(x) + x \cdot 2\sin(x)\cos(x) - 3 \cos(7x) \cdot 7

f′(x)=sin⁡2(x)+x⋅2sin⁡(x)cos⁡(x)−21cos⁡(7x) f'(x) = \sin^2(x) + x \cdot 2\sin(x)\cos(x) - 21\cos(7x)

4) f(x)=cos⁡(3x)x4+5f(x)=\frac{\cos (3 x)}{\sqrt{x^{4}+5}}

Arrancamos con regla del cociente y atenti cuando nos toque derivar cada el primero o el segundo, regla de la cadena ;)

f′(x)=−3sin⁡(3x)x4+5−cos⁡(3x)⋅4x32x4+5(x4+5)2 f'(x) = \frac{-3\sin(3x)\sqrt{x^4 + 5} - \cos(3x) \cdot \frac{4x^3}{2 \sqrt{x^4 + 5}}}{(\sqrt{x^4 + 5})^2}

f′(x)=−3sin⁡(3x)x4+5−cos⁡(3x)2x3x4+5x4+5 f'(x) = \frac{-3\sin(3x)\sqrt{x^4 + 5} - \cos(3x)\frac{2x^3}{\sqrt{x^4 + 5}}}{x^4 + 5}
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Lucia
25 de mayo 13:03
hola flor, en el ultimo ejercicio cuando hiciste la derivada de la raiz, yo puse un 1 en vez de un 4x elevado al cubo, que regla usaste?
0 Responder
Flor
PROFE
26 de mayo 14:02
@Lucia Hola Lucia! Eso es por regla de la cadena, acordate que tenés que multiplicar por la derivada de "lo de adentro", y la derivada de x4x^4 es 4x34x^3 :)
0 Responder